Développement et factorisation
1-Développement
k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb
On dit que l’on distribue k sur a et b.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)(c − d) = ac − ad + bc − bd
Remarque : Ces formules de développement sont des rappels de 2ème et sont à
connaître par cœur.
Exemples :
2 - Factorisation
Pour factoriser une expression, on procéde en
fait à l’inverse du développement.
Reprenons une des formule suivante : ka + kb = k(a + b)
En fait, on aura une somme de produit avec, pour chaque produit,
un facteur commun, ici le k. Attention : le k peut être soit un nombre, soit
une somme de terme. Voyons ces deux cas dans deux exemples.
Cas ou le k est un nombre :
Ici on a une somme de deux produits : 2(4 − x) et 2. Dans ces deux produits, on a le facteur 2 qui revient. Le premier produit c’est 2 fois (4− x) et le second c’est tout simplement 2 fois 1. On va prendre ce 2 dans les deux produits pour le mettre en facteur. L’expression de A devient : A = 2[(4 − x) + 1] On a mis en facteur le 2, c’est-à-dire que nous l’avons pris des deux produits, et dans la parenthèse, il reste donc que le second facteur des produits, ici (4 − x) et 1 car c’était:
2 × (4 − x) et 2 × 1. A présent, on calcul ce qu’il y a à l’intérieur de la parenthèse et on a fini. A = 2[(4 − x) + 1] = 2(4 − x + 1) = 2(−x + 5)
Remarque importante : On ne redéveloppe pas avec le facteur 2, sinon on
reviendra au point de départ.
Cas ou le k n’est pas
un nombre seul : B = (3 + x)(4 − 3 x) − (1 − x)( x + 3)
Ici, nous avons encore une somme de deux produits : (3 + x)(4 − 3 x) et (1 −
x)( x + 3). On
remarque que le (3 + x) revient dans les deux produits. Oui, car x + 3 = 3 +
x.
Attention, ne tombez pas dans le piège. On va donc factoriser par ce facteur
commun. On factorise et cela donne : B = (3 + x)(4 − 3 x) − (1 − x)( x + 3) =
(3 + x)[(4 − 3 x) − (1 − x)] On a
plus qu’à calculer les terme à l’intérieur de la parenthèse et on a fini de
jouer. Faites bien attention à cette étape là. Il y a un - devant la parenthèse
(1 − x), on doit
donc changer les signes de cette parenthèses, c’est-à-dire que 1 devient −1 et
que − x devient
+ x. B = (3
+ x)[(4 − 3 x) − (1 − x)] = (3 + x)(4 − 3 x − 1 + x) = (3 + x)(−2 x + 3) Le
tour est joué !
3 - Identités remarquables
Dans cette partie, je vais vous donner les trois identités
remarquables qui sont plus que fondamentales.
|
Identités
remarquables : Ces relations se lisent dans les deux sens, soit pour
développer, soit pour factoriser. (a + b) ² = a ² +
2ab + b² (a − b)² = a² −
2ab + b² (a + b)(a − b) = a² − b²
|
Pour bien que vous assimiliez ces formules dans les deux
sens, je vais vous donner des exemples pour le développement et la
factorisation.
Exemples de développement :
A = (2 x − 1)² = (2 x)² − 2 ×
(2 x) × (1) +
1²
= 4x² −
4x + 1
B = (x − 2)( x + 2) = x ²– 2² = x ² − 4 Cette formule vous fera gagner du temps plus
d’une fois.
Exemples
de factorisation :
C
= x ² − 6x + 9 = x ² − 2 × (3) × x + 3² = (x − 3)²
Cet
exemple est un peu complexe dans le sens de la factorisation. Vous aurez
rarement à faire des choses comme ça à votre niveau. sachez tout de même que
j’ai juste décomposer les termes de cette expression pour retrouver une
identité remarquable.
D = x ² − 1 = x ² − 1 ² = (x − 1)(x + 1) Cet
exemple ci, par contre, vous en rencontrerez tout le temps. Cela dit, c’est
assez simple à voir : il faut deux termes au carré et un - entre les deux.
Facile en fait.
Aller, un dernier un peu plus difficile cette fois. E = (x + 1)² − 16 Alors la, deux termes séparés d’un signe -. Le premier est un carré, oui oui, c’est le carré de (x + 1) et le second est le carré de 4 car
4 × 4 = 16. Voici donc la factorisation : E = (x + 1)2 − 16 = [(x + 1) −
4][(x + 1) + 4] = (x + 1 + 4)(x + 1 − 4) = (x + 5)(x − 3) .
Attention,
c’est bien le signe entre les deux produits initiaux qui devient - puis + (ou +
puis -, c’est pareil).
Produit de facteurs nul
Un
produit, il est nul quand ? Quand un de ses facteurs est nul !
|
Produit de facteurs nul : Un produit
est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul. |
Si on a un produit de cinquante termes par exemple. Il suffit que un seul de ces 50 termes soit nul, pour que le produit entier soit nul. Exemple d’application : Résoudre l’équation : (2x + 1)(x − 2) = 0 C’est un produits de deux facteurs : (2x + 1) et (x − 2). Pour qu’il soit nul il faut que : 2x + 1 = 0 ou x − 2 = 0 On a plus qu’à résoudre ces deux équations. 2x + 1 = 0 ou x − 2 = 0 2x = −1 ou x = 2
x = −1/2 2 ou x = 2 Donc, pour que l’équation de départ soit nulle, il
faut soit que x = −1/2 , soit que x = 2. Les solutions de l’équation sont donc
: x = −1/2 et x = 2.
 = ka + kb k(a − b) = ka − kb On dit que l’on distribue k sur a et b. (a + …){kind=link}